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2)! ✷ Modulare Arithmetik five. four 129 Primitivwurzeln und diskrete Logarithmen ∗ Wir betrachten die Einheitengruppen Zn f¨ur 2 ≤ n ≤ eight der multiplikativen Restklassengruppen modulo n f¨ur 2 ≤ n ≤ eight und rechnen aus, ob diese zyklisch sind: ∗ (1) n = 2: Es gilt Z2 = {1} = 1 . ∗ 1 2 ∗ 1 2 (2) n = three: Es gilt Z3 = { 1, 2 } = 2 , da 2 = 2 und 2 = 1. (3) n = four: Es gilt Z4 = { 1, three } = three , da three = 2 und three = 1. ∗ 1 2 three (4) n = five: Es gilt Z5 = { 1, 2, three, four } = 2 , da 2 = 2, 2 = four, 2 = three und four 2 = 1. ∗ 1 2 (5) n = 6: Es gilt Z6 = { 1, five } = five , da five = five und five = 1. ∗ 1 2 three (6) n = 7: Es gilt Z7 = { 1, 2, three, four, five, 6 } = three , da three = three, three = 2, three = 6, four five 6 three = four, three = five und three = 1. ∗ 2 2 2 2 (7) n = eight: Es gilt Z8 = { 1, three, five, 7 } sowie 1 = 1, three = 1, five = 1 und 7 = 1. ∗ ∗ Wir stellen fest, dass Zn zyklisch ist f¨ur 2 ≤ n ≤ 7, w¨ahrend Z8 nicht zyklisch ∗ ist – jedes point von Z8 hat die Ordnung 2. Es stellt sich die Frage, f¨ur welche ∗ n die Einheitengruppen Zn zyklisch sind. Diese Frage beantwortet der folgende Satz, den wir in mehreren Schritten beweisen. Satz five. 6 Sei p ∈ P. Dann gilt: ∗ a) Ist p = 2, dann ist Z okay zyklisch f¨ur ok ∈ {1, 2} und nicht zyklisch f¨ur ok ≥ three; p ∗ b) Z okay ist zyklisch f¨ur alle p ≥ three. p Sei ok ∈ N, okay ≥ three, dann gilt Lemma five. 1 ∗ a) Z okay = 2i − 1 | 1 ≤ i ≤ 2 k−1 2 k−1 b) ordZ∗ = 2 . 2k Beweis a) Es ist Z2k = i | zero ≤ i ≤ 2 − 1 . Mit Satz three. 7 folgt ok ∗ ∗ 2 2k Zk= a∈Z okay | (a, 2 ) = 1 (a, 2 ) = 1 gilt f¨ur ok ≥ 1 genau dann, wenn a ungerade ist. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung. ok b) folgt sofort aus a). Lemma five. 2 Sei okay ∈ N, okay ≥ three, dann ist k−2 a) ordZ∗ (5) = 2 2k , ✷ 130 Primitivwurzeln und diskrete Logarithmen b) five = zero 1 2 2 five ,5 ,5 ,... ,5 k−2 −1 . ¨ Beweis a) Wegen Ubung 1. 2 (5) ist (w¨ahle a = 1) 2 k−3 five k−1 =1+2 ok (5. nine) = 1 (2 ) ¨ Wir quadrieren und erhalten wieder mithilfe von Ubung 1. 2 (4) und, weil okay ≥ three vorausgesetzt ist: 2 2 k−3 2 five k−2 =5 2k−2 okay ok =1+2 +2 = 1 (2 ) (5. 10) Aus (5. nine) und (5. 10) folgt die Behauptung. ✷ b) folgt unmittelbar aus a). Lemma five. three F¨ur alle n ∈ N0 gilt n+1 a) 4|5 −5 , n n b) five = 1 (4). Beweis a) Es gilt five Behauptung folgt. − five = five · (5 − 1) = five · four, woraus unmittelbar die b) Mit Korollar 1. five gilt n five = 1 (4) folgt. five −1 5−1 n+1 n n n n ∈ N0 , woraus 4|5 − 1 und damit die Behauptung ✷ n Aus den Lemmata five. 2 und five. three folgt Lemma five. four Sei okay ∈ N, okay ≥ three, und five die von five erzeugte zyklische Unter∗ gruppe von Z okay, dann ist 2 k−2 five = 1 + 4j | zero ≤ j ≤ 2 −1 (5. eleven) ∗ five enth¨alt additionally alle Elemente von Z ok im Abstand four beginnend bei 1: 2 okay five = 1, five, nine, . . . , 2 − three (5. 12) Die restlichen Elemente sind wegen Lemma five. 1 ∗ ok five = Z ok − five = three, 7, eleven, . . . , 2 − 1 2 k−2 = three + 4i | zero ≤ i ≤ 2 −1 (5. thirteen) Wir setzen − five = {−a | a ∈ five } (5. 14) Modulare Arithmetik 131 Wir zeigen nun, dass five =− five (5. 15) ist: Sei a ∈ five , dann existiert wegen (5. eleven) ein j mit a = 1 + 4j. Daraus folgt okay −a = 2 − a okay = 2 − 1 − 4j k−2 =2 · four − 1 − 4j − 1 k−2 = three + four · (2 − 1 − j) (5.

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